すべての夢のたび。

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モンティ・ホール問題をもう一度考える


以前モンティ・ホール問題については書いたことがあって、その時はドアを変えたほうがいい理由に納得してたはずなんですけど、どうも忘れてしまって、やっぱり変えようが変えまいが確率は1/2だから変えないほうがいいのでは?って気分になってきてしまい、もう一度考え直しました。今度は大丈夫。

1.ドアが3つあります
2.その中に 当りが1つ、ハズレが2つ あります
3.あなたは、ドアをひとつ選べます 
4.あなたが選んでいないドアを司会者が開けます
5.開けられたドアは 必ず「ハズレ」です
6.あなたは、ドアを選びなおす権利があります
7.選びなおさない権利もあります

問い・・・あなたはドアを選びなおしますか?
 ※選びなおした方が、勝率が上がると思いますか?


わかりやすくするために、ドアの数を100個にしましょう。さらに、ドアじゃなくて壺にしましょう(なんとなく)。


さてここに、100個の壺があります。そのうちのどれかひとつに、100万円が入っていて、ぼくはどれがその壺か知っています。あなたは100個のうちのどれかひとつの壺を選びます。ぼくは残り99個の壺のうち、ひとつを残して98個の壺を開けます。開けた壺は全部空っぽです。開けてない壺が2個だけ残っています。あなたが選んだものひとつと、ぼくが残したものひとつです。さて、100万円はどっちの壺に入っていると思いますか?

確率で考えると、あなたはどの壺に100万円が入っているか知らないので、あなたの選んだ壺に100万円が入っている可能性は1%しかありません。逆に、ぼくの残した壺は、1%の確率で100万円が入っている壺99個を、ひとつに濃縮したような壺です。1%対99%です。こりゃ、選択を変えたほうがいいでしょう、って話になりますよね。


要するに、モンティ・ホール問題で「選択を変えないと1/3の確率で当り、選択を変えると2/3の確率で当り」と言っているのは、単にコレなんです。1/3というのは、ドアが3つの場合に1発で当りを引く確率のことを言ってるだけなんですね。ドアが2つしかないなら、選択を変えようが変えまいが確率は1/2です。でも、ドアが3つになると、「ドア1つ」と「ドア2つ」の好きな方を選ばせてやるよ!って話に変わっちゃうわけです。そりゃ、後者のほうがいいに決まってるじゃないですか、ってことです。

あなたが選んだひとつと、あなたが選ばなかった残り全部、どっちに当りが入ってる確率が高いと思います?ってだけですね。問題をわかりやすく変形するとこうなります。

無関係なドアを開けて見せるところがちょっと引っ掛けっぽいんですね、モンティ・ホール問題。最後に2つしか残らなかったら、そりゃ1/2だよなぁって思っちゃいますよね。