ちょっと考えてみたんですが。
「あなたが友だちだと思っている人の半分はあなたを友だちだと思っていない」ってことは、ぼくが2人のことを友だちと思ってたら、うち1人はぼくを友だちと思ってない。つまり半分は片思いってことですよね。残り半分が両思い。R(=両思いレート)の平均が0.5ってことです。
これって成立するんか？
ぼく、A、Bの3人がいるとします。ぼくはAもBも友だちと思っている。でもR=0.5だから、AとBのどちらかはぼくを友だちと思っていないわけです。しかし、AもR=0.5なので、AもぼくとBの両方のことを友だちと思っているはずです。するとBが怪しい。彼はぼくのこともAのこともも友だちと思っていないのか？ でも当然ですが、BもR=0.5にしないと3人の平均Rが0.5になりません。BだってぼくとAのことを友だちと思ってるはず。従ってこれは矛盾です。
というわけで「あなたが友だちだと思っている人の半分はあなたを友だちだと思っていない」は全体の人数が3人の場合には成立しないことがわかりました。
では5人ならどうでしょうか。ぼく、A、B、C、D。ぼくはAとBを友だちだと思っているけれどCとDとはそもそも知り合いでもない。そしてAはぼくを友だちと思ってるけどBはそう思ってないわけです。
これ数学の証明問題ですね。5人いるから五角形で、対角線を引く。五角形の中に星マークがある。ひとつの頂点から辺2本と対角線2本の合わせて4本、線が伸びている。この線が関係性を表すわけです。
両思いを赤い線、片思いを青い線、お互い知り合いじゃないのを黒い線で表すとします。1つの頂点からは、赤い線1本、青い線1本、黒い線2本が伸びるわけです。でも青い線(片思い)には向きがあるので矢印にでもしておいたほうがいいですね。ベクトルか。
で、ぼくはこれを紙に五角形書いていろいろ試してたんですが(笑)、やっぱりどうにもできないような気がします。4人目までは収まるんですが、最後の1人にシワ寄せがいく。最後の1人が、誰とも両思いにできない。つまりこの人のRが0.5にならないので、全体の平均Rも0.5を割ってしまう。どうも人数が5人の場合も成立しなさそう。
なんかもうちょっと時間あればちゃんと「無理」って証明できそうな気もするんですが、時間切れです。もっと人数が増えればいけるのでしょうか。ちょっと考えてみてください。(と人に投げて終わる)
追記：なぜ3から4を飛ばして5に行ったのか……。4でもダメっぽいですが。
