「無限とは、あなたが数えられない最も小さな数」だそうです。
正直、文章を読んだだけではよくわからなく、子どもより頭が悪いのでは……と思ったのですが「極限順序数(ω)」の説明として添えられた下記の図を見たら「おお……」と唸りましたね。
- 0, 1, 2, 3, 4, 5……と無限にやったものがωである。
- さらに、ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ω+5……と無限にやっていくことが考えられる。するとω+ω、つまりω・2になる。
- さらに、ω・2+1, ω・2+2, ω・2+3, ω・2+4, ω・2+5……と無限にやっていくことが考えられる。するとω・2+ω、つまりω・3になる。
- さらにこれを無限に続けていくとω・ω、つまりω^2が得られる。
- さらにω^2+1, ω^2+2, ω^2+3……と続けるとω^2+ωが得られる。 ω^2+ω+1, ω^2+ω+2, ω^2+ω+3……と続けるとω^2+ω^2つまりω^2・2が得られる。
- 続けるとω^2・ωつまりω^3, ω^4. ω^5……となりついにはω^ωが得られる。
……途中端折り気味ですのでもっとゆっくり進みたいところですが。ここですごいなぁと思ったのは、無限は数えられない数のはずなのに、それを数えてしまっている、というところですよね。「無限に数えちゃいました」と言ってそれをくるんとωというパッケージにまとめてしまうと、それを数えることができるようになってしまう。無限どうしの大きさの比較や、無限が無限個あったら、なんてことも考えてしまえる。しかも実際にやってることは、ただ1ずつ順に数えているだけなのです。いやー数学すごいですね。
前からぼんやりと頭の中にあったものがちょっとだけはっきりしてきた感じがしました。ところでこの図、Wikipediaでは拡張子.svgというベクトルデータだったんですが(初めて見た)、はてなブログにはそのまま貼れなかったので.pngになっております。
